向量
表示
通常用箭头表示或者,或者黑体;
- 没有绝对的开始位置,;
- 具有长度;
- 具有方向，可以用其单位向量表示：
通常我们表示单位向量的过程也称为正则化(normalization);
向量也可以在坐标系上用两个正交的向量表示，进而表示成一列形成坐标：
加法
向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则
点乘
点乘(dot product)可以描述向量之间的方向的相似性,投影运算，
两个向量的夹角余弦为
夹角为
点乘满足交换律，结合律
在二维空间中
在三维空间中
投影(projection)在图形学上是很常见的运算,投影和同向；
通过投影还可以进行向量的正交分解
向量点乘的正负可以决定向量是同向(forward)还是反向的(backforward);
叉乘
两个向量的叉乘的结果均垂直于两个向量，其方向遵循右手螺旋定则(right-hand rule),可以建立三维直角坐标系；
满足
这里夹角,表示旋转角；
向量叉乘仍然满足结合律和分配律，不满足交换律
代数上，叉乘如下结果
在二维空间中计算结果看起来是一个数(结果是它的模)
平面上的叉乘一般用于判断左右，以及判断内外
判断向量在向量的左侧的充要条件
判断点在三角形内部的充要条件
结果为0一般考虑为corner case;
利用叉乘可以定义一个右手系；
对于任意一个向量,有
矩阵
对于一个矩阵，即有行列；
加法是平凡的：对应元素相乘；
矩阵的乘法：对于一个 的矩阵和的矩阵,相乘结果为
矩阵乘法不满足任何交换律,满足结合律和分配律
矩阵乘法转置满足
矩阵乘法常常用于向量的线性变换,向量通常视为列数为1的矩阵,这里称作dual matrix;
若矩阵满秩，则存在逆,这里\boldsymbol A \boldsymbol A^{-1} = I
