群
若称为一个群，如果非空集合定义了二元运算「」,满足：
- 结合律：;
- 存在幺元：
- 存在逆元：;
Abel群
进一步，若称为Abel群，如果还满足交换律,否则为非交换群；
- 交换律：
将中的运算记作「」,有如下性质：
- 存在零；
- 存在负元素；
显然，全体整数对于加法构成交换群；
阶
称为有限群，如果群包含元素个数有限，元素个数称为群的阶；
称为有限阶元素，如果存在正整数满足，将定义为的阶；
若不存在这样的，则为无限阶元素；
称群为周期群，如果其每一个元素都是有限阶元素；
Property
对于如果 是群 的一个 阶元素, 是 的单位元素
- ;
- ;
- 若是无限阶元素，对于,必有;
置换群
设是一个非空集合，到自身的双射的全体对于复合运算构成群，称作的全置换群；
若,则称为级对称群；
中的元素称作的一个置换；
- ;
简便起见，,称置换是一个长度为的轮换，如果：
对于不是的其他元素而言，均有;
长度为2的轮换又称为对换；
对于不相交的轮换，满足交换律
Theorem
对称群中任意不等于幺元的元素都可以唯一分解为不相交的轮换的乘积；
proof:考虑取使得,存在最小的使得,记;
取轮换为限制在;考虑的元素，若在下不动，则说明是单个轮换；
否则取的发生变动的元素,重复分解即可；
Corollary
- 任意置换可以分解为对换的乘积;
- 任意给定的置换分解为对换乘积时出现的对换个数奇偶性不变；
子群，陪集
对于群的非空子集，称为的子群，若在的运算下构成群；
- 记作
定义的子集的子集的积
Theorem
设是群，;下三个命题等价；
- ;
事实上，若,则
- 为的平凡子群；
- 若干子群的交仍为子群；
生成子群
对群，,称由生成的子群为所有包含的子群的交；
